9.3b 隧道效应与势阱

来源： Mappe S. 95 · ➕ 考纲

物质波动性（ $ψ$ ，§9.3a）的两个核心后果——二者经典上都不可能，量子力学里却是常规。

隧道效应（Tunneleffekt）

经典上：能量不足的粒子无法越过能量势垒（一道「墙」）——就像冲劲不够的小球翻不过山丘，会滚回来。量子力学里则不同：

隧道效应 = 一个粒子穿透一道它经典上无法越过的势垒（其能量小于势垒高度）。它以一定概率出现在另一侧，仿佛走了一条「隧道」。

为什么可以？ 波函数 $ψ$ 在势垒处不会立刻变为零，而是在势垒内部只指数衰减。若势垒足够薄， $ψ$ 在其后仍 > 0——于是按玻恩诠释（ $| ψ |^{2}$ ，§9.3a），势垒另一侧存在有限的出现概率。

✎ 隧穿概率随势垒的厚度、高度以及粒子的质量而极快（指数）下降——因此轻粒子（电子）比重粒子容易得多地隧穿，而且只有薄势垒才能被穿透。

应用 / 例子：

α 衰变（Alpha-Zerfall）： $α$ 粒子隧穿出原子核、越过核力的势垒——解释了放射性核为何会衰变（见主题 12）。
扫描隧道显微镜（STM，Rastertunnelmikroskop）：在一根细针尖与样品之间，电子隧穿过真空；隧道电流对间距极其敏感 → 可在表面上成像出单个原子。
隧道二极管（Tunneldiode）：一种电子器件，其功能直接基于电子的隧穿（开关速度极快）。

描述束缚粒子的最简单量子力学模型：一个粒子待在势阱（「箱子」）里——内部自由运动，但被囚在壁内（出不去）。该模型揭示能量量子化从何而来。

因为 $ψ$ 在势阱壁上必须为零（边界条件），所以——就像两端固定的弦一样——只有某些驻波能放进去。每个允许的驻波有固定波长，从而（经 $λ = h / p$ ，§9.3a）有固定能量：

E_{n} \propto n^{2}, n = 1, 2, 3, \dots

所以离散能级正是 $ψ$ 的边界条件的直接后果。这正是 §9.2 那些「台阶」、§9.2a 玻尔轨道的更深层原因：不是一条人为假设，而是被囚粒子的波动本性。

✎ 类比：正如吉他弦因两端固定而只能以某些频率（基音 + 泛音）振动，被囚的粒子也只「准」拥有某些能量。其中最低态（ $n = 1$ ）的能量大于零——这（如 §9.7）就是零点能： $E = 0$ 的静止会被海森堡不确定性所禁止。